Chương 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN


Vec tơ trong không gian.

1. Định nghĩa và các phép toán
( Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng.
( Lưu ý:
+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có:

+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:

+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A(B(C(D(, ta có:

+ Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.
Ta có:
;

+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý.
Ta có:

+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý.
Ta có:

+ Điều kiện hai vectơ cùng phương:

+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ( 1), O tuỳ ý.
Ta có:

2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
( Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
( Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ
, trong đó
không cùng phương. Khi đó:
đồng phẳng ( (! m, n ( R:

( Cho ba vectơ
không đồng phẳng,
tuỳ ý.
Khi đó: (! m, n, p ( R:

3. Tích vô hướng của hai vectơ
( Góc giữa hai vectơ trong không gian:


( Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
+ Cho
. Khi đó:

+ Với
. Qui ước:

+

+



Hệ tọa độ trong không gian.

1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian:
Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi
là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.
Chú ý:
và
.
2. Tọa độ của vectơ:
a) Định nghĩa:

b) Tính chất: Cho

(

(

(

(

(
cùng phương
(



(
(

(
(

(
(với
)
3. Tọa độ của điểm:
a) Định nghĩa:
(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý: ( M ( (Oxy) ( z = 0; M ( (Oyz) ( x = 0; M ( (Oxz) ( y = 0
( M ( Ox ( y = z = 0; M ( Oy ( x = z = 0; M ( Oz ( x = y = 0
b) Tính chất: Cho

(
(

( Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ( k≠1 ):

( Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:

( Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:


( Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:


4. Tích có hướng của hai vectơ:
a) Định nghĩa: Cho
,
.


Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
b) Tính chất:
(
(

(
(
cùng phương

c) Ứng dụng của tích có hướng:
( Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ:
và
đồng phẳng (

( Diện tích hình bình hành ABCD:

( Diện tích tam giác ABC:

( Thể tích khối hộp ABCD.A(B(C(D