MỘT SỐ DẠNG TOÁN GIẢI TÍCH TỔ HỢP
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
+ Quy ước n, k là các số tự nhiên với n≥1, k≤n
A là tập hợp gồm n phần tử.
1. Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần tử của A tạo thành một hoán vị. Số hoán vị của n phần tử là Pn= n!
2.k phần tử sắp thứ tự của tập A tạo thành một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó. Số chỉnh hợp là:

3. k phần tử không phân biệt thứ tự của A tạo thành một tổ hợp chập k của n phần tử đó. Số tổ hợp là:

4. Công thức khai triển Nhị thức Newton:

Số hạng tổng quát thứ k+1: Tk+1=
.







Suy ra:






5. Các công thức thường dùng:

(1)

+
=
(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
1. Bài toán tính tổng:
Bài 1 Tính tổng
với n(N và n>2. (THTT-12-2008-Tr 14).
Hướng dẫn
Áp dụng công thức trên hai lần
(
suy ra

Như vậy:

Sử dụng đạo hàm:






Thay x= 1 ta có kết quả.
Bài 2 Tính tổng
(THTT-9-2009-Tr14)
Hướng dẫn
Từ công thức
ta có:


Suy ra

* Ngoài ra ta có thể sử dụng đạo hàm để tính.
Nhân xét Qua hai bài toán trên, nếu các hạng tử trong tổng có dạng : 1.2.3…k
thì hoặc sử dụng đạo hàm, hoặc sử dụng công thức (7).
Bài 3 Tính tổng
, n(N* (THTT-12-2008-Tr 14)
Hướng dẫn
Theo công thức

Ta có

Nên

Sử dụng tích phân:
+ Khai triển

+





Thay t=1 ta được kết quả.
Bài 4 Tính
(THTT-9-2009-Tr14).
Hướng dẫn
Sử dụng công thức




Như vậy

=

* Ngoài ra có thể sử dụng tích phân để tính.
Bài 5 Tính
(THTT-9-2009-Tr14).
Hướng dẫn
Ta có :



Suy ra:



Ngoài ra có thể sử dụng tích phân để tính.
Nhận xét: Nếu các hạng tử của tổng có dạng
ta nghỉ đến việc sử dụng tích phân để tính, hoặc sử dụng công thức (7).
Bài 6 Cho n là số nguyên dương. Tính tổng

(ĐH-B-2003)
Hướng dẫn
+ Xét đa thức

+

+

Nhận xét Để tính tổng
;
Hãy tính
với p(x)=(1+x)n, sau đó chọn a, b thích hợp với đề bài, trong bài toán trên ta chọn b=2, a=1. Thường lấy cận a=0, b=1;
Trong một số trường hợp xét p(x)=k(1+x)n, với k=1,2,...

Bài 7 Tính tổng
với n(N và n>2.
(THTT-12-2008-Tr 14).
Hướng dẫn
Ta có
theo các bài trên, mặt khác
.
Như vậy:



=n(n-1)2n-2+n2n-1

Bài 8 Tính tổng

Hướng dẫn
Xét đa thức : P(x)=x.(1+x)n, ta có :



= (1+x)n+nx(x+1)n-1
Vậy S=P’(-1)=0.
Lưu ý: để tính các tổng:






Ta xét đa thức: P(x)=x(1+x)n và chứng tỏ S1=P(a’)
Xét đa thức q(x)=x(x+1)2n và chứng tỏ rằng 2S2=q’(a)+q’(-a) và 2S3 = q’(a)-q’(-a).
Bài 9 Tính tổng

Hướng dẫn: Sử dụng i2 = -1
Khai triển
=
(1)