CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN

Ý tưởng chính của phương pháp là sử dụng công thức phương trình tiếp tuyến của một đồ thị hàm số để tìm một biểu thức trung gian trong các đánh giá của bất đẳng thức .
Đối với một số hàm số, tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm nào đó của đồ thị hàm số luôn nằm trên hay nằm dưới của đồ thị hàm số. Dựa vào tính chất này,ta thiết lập được một phương pháp để chứng minh bất đẳng thức.
Cho hàm số
xác định, liên tục và có đạo hàm trên K. Khi đó tiếp tuyến tại một điểm
có phương trình
luôn nằm trên (hoặc nằm dưới) đồ thị hàm số
, nên
( hoặc
với mọi
. Từ tính chất này, ta thấy với mọi
thì
.
Như vậy nếu một bất dẳng thức có dạng tổng hàm như ở vế trái của BĐT trên, và có giả thiết
với bất dẳng thức xảy ra khi tất cả các biến
đều bằng nhau và bằng
, thì có thể chứng minh nó bằng phương pháp tiếp tuyến.
Ví dụ 1 : Cho
là bốn số thực không âm thỏa mãn điều kiện:
. Chứng minh rằng:

Giải
Từ giả thiết:

PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại
là

Ta sẽ chứng minh:

Thật vậy,


( luôn đúng)
Từ đó:
( đpcm)
Ví dụ 2: Cho
là các số thực dương thỏa mãn:
. Chứng minh rằng:


Giải
Từ giả thiết suy ra

Đặt

Khi đó bđt cần chứng minh trở thành:

Dễ thấy đẳng thức xảy ra khi

PTTT của
tại
là

Vẽ đồ thị hàm số thấy tiếp tuyến tại M ở dưới đồ thị hàm số
nên ta sẽ chứng minh





( luôn đúng)
Do đó
( đpcm)
Ví dụ 3: Cho
là các số thực dương thỏa mãn:
. Chứng minh rằng:

(1)
Giải


PTTT của hàm số
tại
là

Ta sẽ chứng minh:

Thật vậy ta có:

Vậy ta có:

Dấu
xảy ra khi

Ví dụ 4: Cho
là các số thực dương. Chứng minh rằng:



Giải
VT của BĐT là các biểu thức cùng bậc. Không mất tính tổng quát, giả sử rằng

Khi đó BĐT cần chứng trở thành:

Từ giả thiết suy ra

Đặt

Khi đó BĐT cần chứng minh trở thành:

Ta dự đoán BĐT đã cho trở thành đẳng thức khi

PTTT của
tại
là

Đồ thị của hàm số
ở dưới tiếp tuyến nên ta sẽ chứng minh

Thật vậy:



(luôn đúng)
Vậy
(đpcm)
Ví dụ 5: Cho
là các số thực dương. Chứng minh rằng:

(1)
Giải





Các phân thức ở vế trái có tử số và mẫu số đồng bậc, không mất tính tổng quát, giả sử

BĐT viết lại dưới dạng:

Do

Nên (*) trở thành:

PTTT của
tại
là

Ta chứng minh:


Khi đó:

Đẳng thức xảy ra khi


Ví dụ 6: Cho
là độ dài ba cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng:


Giải

Do vai trò của a, b, c như nhau nên ta có thể giả sử
. Vì
là độ dài ba cạnh của một tam giác nên
. BĐT cần chứng minh trở thành


Đặt
.
Dễ thấy: BĐT cần chứng minh trở thành đẳng thức khi
.
PTTT của đồ thị hàm số
tại
là

Ta chứng minh:

Thật vậy:


( luôn đúng)
Vậy

Dấu
xảy ra khi


BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Cho
. Chứng minh rằng:

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa
. Chứng minh rằng:

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa
. Chứng minh rằng:

Cho Cho a, b, c là các số thực dương . Chứng minh rằng:

Cho
,
,
thỏa
. Chứng minh rằng:

Cho
là các số thực dương thỏa mãn:
. Chứng minh rằng:

Cho a, b, c là các số không âm thỏa
. Chứng minh rằng:





PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC HOÁN VỊ VÒNG QUANH

Trong quá trình chứng minh BĐT, có đôi lúc ta gặp các BĐT mà ở đó các biến được hoán vị vòng quanh hay các biến đó có vai