Chuyên đề : TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG

Tóm tắt kiến thức cơ bản:
Để học tốt chương tích phân, các em cần nhớ các kiến thức sau :

Bảng các công thức đạo hàm

( c là hằng số)






































2) Bảng các nguyên hàm:

Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp
Nguyên hàm của những hàm số hợp đơn giản
Nguyên hàm của những hàm số hợp





























































2) Các tính chất tích phân:
Tính tích phân xác định.
Nếu F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên [a; b] thì

Các tính chất.
Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a; b]
(
;

(

( k là hằng số)
(

(
( với a < c < b )
3) Các công thức lượng giác:
a) Công thức nhân đôi:
* sin2a = 2sina.cosa
* cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a
b) Công thức hạ bậc:
* sin2a =
* cos2a =

c) Công thức biến đổi tích thành tổng:
*

*

*

4) Các công thức về lũy thừa và căn bậc n:
Với điều kiện xác định của a, b, m, n ta có :
*
và

*
;

* a0 = 1; a1 = a ; a-n =

*
;

*
;

*

5) Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
* a2 – b2 = (a+b)(a – b)
*

*

*

B) Ví dụ và bài tập:
I) Tích phân cơ bản: Gọi là tích phân cơ bản vì các tích phân mà việc tính không cần phải áp dụng phương pháp từng phần hay đổi biến. Tuy vậy các em cần lưu ý rằng cơ bản không nghĩa là dễ làm. Hãy nghiên cứu các ví dụ sau:

Ví dụ 1: Tính các tích phân
I1 =

I2 =


I3 =

Giải:
a) I1 =
=

Vậy: I1 =

b) I2 =
=
= – ( e – 2+2 – e2) = e2 –1
Vậy: I2 = e2 –1
c) I3 =
=
=

Vậy: I3 =

Ví dụ 2: Tính các tích phân
a) J1 =

b) J2 =

c) J3 =


Giải:
a) Ta có: (x2 + 1)2 = (x2)2 +2.x2.1 + 12 = x4 + 2x2 + 1
suy ra J1 =
=
=
=

Vậy: J1 =

b) Ta có :

suy ra J2 =
=
= (–2 –7ln1) – (0 – 7ln2) = 7ln2 – 2
Vậy: J2 = 7ln2 – 2
c)

suy ra J3 =
=
=
= 25,25
Vậy: J3 =

Ví dụ 3: Tính các tích phân
K1 =

K2 =

K3 =


Giải:
a) Ta có: sin3x.cosx =

suy ra K1 =


=

Vậy: K1 =

b) K2 =

Ta có: cos22x =

suy ra K2 =


=

=

Vậy: K2 =

c) K3 =

Ta có : e2x–1 – 1 = 0
e2x–1 = 1 = e0
2x – 1 = 0
x =


Suy ra K3 =
=

=
+
=
+


Vậy K3 =


Các bài tập tự luyện:
Tính các tích phân:
L =

I =

J =

K =

M =

P =

Q =

R =

S =






















II) Phương pháp