DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC – DÃY SỐ
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Phương pháp chứng minh quy nạp
Khái niệm : Để chứng minh mệnh đề chứa biến
là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương
, ta thực hiện như sau:
Bước 1:Kiểm tra mệnh đề đúng với
.
Bước 2:Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương
tuỳ ý
, chứng minh rằng mệnh đề đúng với
.
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề
là đúng với với mọi số nguyên dương
thì :
Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với

Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì
và phải chứng minh mệnh đề đúng với
.
Dãy số
Định nghĩa :Dãy số là hàm số với đối số là số tự nhiên


Dãy số tăng, dãy số giảm

là dãy số tăng



là dãy số giảm


Dãy số bị chặn

là dãy số bị chặn trên
.

là dãy số bị chặn dưới
.

là dãy số bị chặn
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP :
Chứng minh các mệnh đề bằng quy nạp

Phương pháp : Ta thực hiện đúng theo 2 bước :
Bước 1 : (bước cơ sở) Chứng minh đẳng thức đúng khi
(hoặc
) .
Bước 2 : (bước quy nạp) Giả sử đẳng thức đúng khi
với

,ta phải chứng minh đẳng thức đó cũng đúng khi
.

Các ví dụ minh họa :

Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi
: a)
(1) ; b)
(2) .
Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi
: a)
(1) ; b)
(2) .
Chứng minh các bất đẳng thức sau : a)
(1) ; b)
(2) .
Chứng minh các mệnh đề sau : a)
chia hết cho 3 ,
b)
chia hết cho 7 ,



Tìm các số hạng của dãy số và tìm số hạng tổng quát của dãy số khi cho bằng hệ thức truy hồi .

Phương pháp :
Dựa theo cách cho của dãy số để tìm ra các số hạng cần tìm , nếu dãy số cho dưới dạng tổng quát thì muốn tìm số hạng thứ
ta chỉ việc thay
vào công thức tổng quát . Nếu dãy số cho dưới dạng truy hồi thì ta phải tính các số hạng truy hồi dần lên đến số hạng cần tìm .
Để tìm số hạng tổng quát của một dãy số khi nó được cho dưới dạng truy hồi ta có rất nhiều cách nhưng thông thường ta nên viết một số só hạng đầu , rồi dự đoán công thức và chứng minh lại bằng quy nạp .

Các ví dụ minh họa :

Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số
biết : a)
; b)
.
Tìm số hạng tổng quát của dãy số
biết : a)
; b)
.

Xét tính tăng , giảm và tính bị chặn của dãy số .

Phương pháp :
Dựa theo định nghĩa :

là dãy số tăng



là dãy số giảm



là dãy số bị chặn
.
Các ví dụ minh họa :

Xét tính tăng , giảm của các dãy số
biết : a)
; b)
; c)
.
Xét tính bị chặn của các dãy số
biết : a)
; b)
; c)
.

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Chứng minh các đẳng thức sau đúng
: a)
; b)
; c)
; d)
; e)
; f)

.
Chứng minh các bất đẳng thức sau : a)
; b)
; c) / ,
; d)

; e)
. f)
,
.
Chứng minh các mệnh đề sau đúng
: a)
chia hết cho 3 ; b)
chia hết cho 5 ; c)
chia hết cho 6 ; d)
chia hết cho 6 ; e)
chia hết cho
; f)
chia hết cho 19 .
Cho dãy số
biết
. Tính tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy số trên :
.
§2. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Cấp