ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
I, SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
Bài toán 1: Tìm khoảng đồng biến – nghịch biến của hàm số:
Cho hàm số

+)
ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy.
+)
ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy.
Quy tắc:
+) Tính
, giải phương trình
tìm nghiệm.
+) Lập bảng xét dấu
.
+) Dựa vào bảng xét dấu và kết luận.
Bài toán 2: Tìm m để hàm số
đơn điệu trên khoảng (a,b)
+) Để hàm số đồng biến trên khoảng
thì
.
+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng
thì

*) Riêng hàm số:
. Có TXĐ là tập D. Điều kiện như sau:
+) Để hàm số đồng biến trên TXĐ thì

+) Để hàm số nghịch biến trên TXĐ thì

+) Để hàm số đồng biến trên khoảng
thì

+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng
thì

*) Tìm m để hàm số bậc 3
đơn điệu trên R
+) Tính
là tam thức bậc 2 có biệt thức
.
+) Để hàm số đồng biến trên R

+) Để hàm số nghịch biến trên R

Chú ý: Cho hàm số

+) Khi
để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng k
có 2 nghiệm phân biệt
sao cho
.
+) Khi
để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng k
có 2 nghiệm phân biệt
sao cho
.
II, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Bài toán 1: tìm điểm cực đại – cực tiểu của hàm số
Dấu hiệu 1:
+) nếu
hoặc
không xác định tại
và nó đổi dấu từ dương sang âm khi qua
thì
là điểm cực đại của hàm sô.
+) nếu
hoặc
không xác định tại
và nó đổi dấu từ âm sang dương khi qua
thì
là điểm cực tiểu của hàm sô.
*) Quy tắc 1:
+) tính

+) tìm các điểm tới hạn của hàm số. (tại đó
hoặc
không xác định)
+) lập bảng xét dấu
. dựa vào bảng xét dấu và kết luận.
Dấu hiệu 2:
cho hàm số
có đạo hàm đến cấp 2 tại
.
+)
là điểm cđ
+)
là điểm cđ

*) Quy tắc 2:
+) tính
.
+) giải phương trình
tìm nghiệm.
+) thay nghiệm vừa tìm vào
và kiểm tra. từ đó suy kết luận.
Bài toán 2: Cực trị của hàm bậc 3
Cho hàm số:
có đạo hàm

1. Để hàm số có cực đại, cực tiểu
có 2 nghiệm phân biệt

2. Để hàm số có không cực đại, cực tiểu
hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

3. Đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu.
+) Cách 1: Tìm tọa độ các điểm cực đại và cực tiểu A, B. Viết phương trình đường thẳng qua A, B.
+) Cách 2: Lấy y chia y’ ta được:
. Phần dư trong phép chia này là
chính là phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu.
Bài toán 3: Cực trị của hàm số bậc 4 trùng phương
Cho hàm số:
có đạo hàm

1. Hàm số có đúng 1 cực trị khi
.
+) Nếu
hàm số có 1 cực tiểu và không có cực đại.
+) nếu
hàm số có 1 cực đại và không có cực tiểu.
2. hàm số có 3 cực trị khi
(a và b trái dấu).
+) nếu
hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu.
+) Nếu
hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu.
3. Gọi A, B, C là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số và
,
.
+) Tam giác ABC luôn cân tại A
+) B, C đối xứng nhau qua Oy và

+) Để tam giác ABC vuông tại A:

+) Tam giác ABC đều:

+) Tam giác ABC có diện tích S:

4. Trường hợp thường gặp: Cho hàm số

+) Hàm số có 3 cực trị khi

+) A, B, C là các điểm cực trị


+) Tam giác ABC vuông tại A khi

+) Tam giác ABC đều khi

+) Tam giác ABC có
khi

+) Tam giác ABC có diện tích
khi

+) Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp
khi