VEC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ VUÔNG GÓC

I. VEC TƠ TRONG KHÔNG GIAN

1. Định nghĩa và các phép toán
( Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng.
( Lưu ý:
+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có:

+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:

+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A(B(C(D(, ta có:

+ Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.
Ta có:
;

+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có:


+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có:


+ Điều kiện hai vectơ cùng phương:

+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ( 1), O tuỳ ý. Ta có:


2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
( Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
( Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ
, trong đó
không cùng phương. Khi đó:
đồng phẳng ( (! m, n ( R:

( Cho ba vectơ
không đồng phẳng,
tuỳ ý.
Khi đó: (! m, n, p ( R:

3. Tích vô hướng của hai vectơ
( Góc giữa hai vectơ trong không gian:


( Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
+ Cho
. Khi đó:

+ Với
. Qui ước:

+



VẤN ĐỀ 1: Chứng minh một đẳng thức vectơ.
Dựa vào qui tắc các phép toán về vectơ và các hệ thức vectơ.

Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD, I là trung điểm của EF.
a) Chứng minh:
.
b) Chứng minh:
, với M tuỳ ý.
c) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng cố định (P) sao cho:
nhỏ nhất.
Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kì, các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối đồng qui tại trung điểm của chúng. (Điểm đồng qui đó được gọi là trọng tâm của tứ diện)
Cho tứ diện ABCD. Gọi A(, B(, C(, D( lần lượt là các điểm chia các cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số k (k ( 1). Chứng minh rằng hai tứ diện ABCD và A(B(C(D( có cùng trọng tâm.

VẤN ĐỀ 2: Chứng minh ba vectơ đồng phẳng
Phân tích một vec tơ theo ba vectơ không đồng phẳng
( Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách:
+ Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.
+ Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:
Nếu có m, n ( R:
thì
đồng phẳng
( Để phân tích một vectơ
theo ba vectơ
không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao cho:


Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho
và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho
. Chứng minh rằng ba vectơ
đồng phẳng.
HD: Chứng minh
.
Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi M, N, I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các cạnh AE, CG, AD, DH, GH, FG; P và Q lần lượt là trung điểm của NG và JH.
a) Chứng minh ba vectơ
đồng phẳng.
b) Chứng minh ba vectơ
đồng phẳng.
HD: a)
có giá cùng song song với (ABCD).
b)
có giá cùng song song với (BDG).
Cho hình lăng trụ ABC.DEF. Gọi G, H, I, J, K lần lượt là trung điểm của AE, EC, CD, BC, BE.
a) Chứng minh ba vectơ
đồng phẳng.
b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên AF và CE sao cho
. Các