VẬN DỤNG TÍNH CHẤT HÌNH HỌCĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRONG
MẶT PHẲNG


Một số bài toán hình học trong hệ tọa độ
, phần lớn được giải theo hướng phân tích dựa vào các phép toán đại số, phân tích vectơ…Tuy nhiên nếu ta kết hợp với các tính chất cơ bản của hình học thì một số bài toán sẽ cho ta kết quả nhanh và gọn hơn.Trong bài viết này tôi xin gới thiệu các bài toán dạng kết hợp với tính chất hình học để giải.
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
cho tam giác nhọn
, các chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C lên các cạnh tương ứng là
. Viết phương trình cạnh BC của tam giác ABC.

/
Để giải bài toán này HS phải nhớ tính chất : “Gọi H là trực tâm của tam giác ABC thì H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF”
Thật vậy:
* Chứng minh: H là giao điểm của 3 đường phân giác trong của tam giác DEF.
* Chỉ cần chứng minh DH là phân giáccủa góc EDF, việc chứng minh EH; FH là các phân giác
của tam giác DEF hoàn toàn tương tự.
*Chứng minh D1 = D2 vì cùng bằng một góc thứ 3: B1 hoặc C1 do có các tứ giác
nội tiếp.
Như vậy qua bài toán này học sinh thấy được tính chất đặc biệt của trực tâm H:
vừa là trực tâm tam giác ABC vừa là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Như vậy ta có thể giải bài toán 1 như sau:
Ta có:
,

Phương trình phân giác của góc
:



Dễ thấy
.
Bài 2.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
cho tam giác ABC có đường phân giác trong của góc B và đường trung tuyến kẻ từ B lần lượt có phương trình là
. Biết
thuộc cạnh AB và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là
. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.

/
Để giải bài toán này HS phải vận dụng tính chất sau: “ Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua
thì M’ thuộc cạnh BC ” theo tính chất đường phân giác.
Như vậy ta có thể giải bài toán 2 như sau:
Ta có:



Gọi
là đường thẳng qua M và vuông góc với
. Khi đó

Gọi

Gọi
đối xứng với M qua
. Khi đó

Ta có

Ta có :
. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Vì

Ta có:



Từ (1) và (2) ta có hpt:



Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
cho tam giác ABC có trực tâm
, phương trình đường thẳng chứa cạnh
. Biết đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đi qua hai điểm
. Tính diện tích tam giác ABC.
/
Để giải bài toán này ta vận dụng tính chất “ Từ trực tâm H lấy đối xứng qua cạnh BC ta được điểm K, khi đó K thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ”
Như vậy ta có thể giải bài toán 3 như sau:
Ta có:

Gọi

Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC
với (T) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Theo gt

Tọa đô A là nghiệm của hpt:

Tọa độ B, C là nghiệm của hpt


(đvdt)
Bài 4.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
cho hình thoi
có phương trình đường thẳng
là
hai đỉnh
lần lượt thuộc các đường thẳng
. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi biết rằng diện tích hình thoi bằng 75 và đỉnhA có hoành độ âm.

/
Để giải bài toán này ta vận dụng tính chất hình thoi:“
, gọi
thì I là trung điểm BD ”
Như vậy ta có thể giải bài toán 4 như sau:






và trung điểm BD là


Theo tính chất hình thoi

Suy ra







Suy ra

Bài 5.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
cho hai đường thẳng
và
. Giả sử
cắt
tại
Viết phương trình đường thẳng
đi qua
cắt
và
tương ứng tại
sao cho
.
Bài giải


/
Để giải bài toán này ta vận dụng thính chất song song “ Gọi
,
sao cho
. Khi đó nếu có
sao cho
thì
song song
”
Như vậy ta có thể giải bài toán 5 như sau:


cắt
tại

Chọn
ta có

Lấy
sao cho





Suy ra đường thẳng
là đường thẳng qua
và song song với
Suy ra phương trình
hoặc

Cách giải này đơn giản hơn lập hệ phương