CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
(Trường THPT Long Mỹ - Hậu Giang)
A/ MỤC TIÊU:
Cung cấp cho học sinh một số cách tìm hàm số đơn giản và một số đề thi học sinh giỏi quốc gia các năm trước nhằm nâng cao và mở rộng kiến thức cho học sinh khá giỏi.
B/ NỘI DUNG:
Chủ đề gồm có 2 phần:
Các cách tìm hàm số đơn giản
Các dạng bài tập luyện tập và bài tập nâng cao
Sơ lược phương trình hàm.
Phương trình hàm là phương trình mà ẩn là các hàm số, giải phương trình hàm là ta tìm các hàm số đó.
Một số đặc trưng cơ bản của hàm số:
Trong phần này ta nêu những đặc trưng của một sồ hàm số sơ cấp thường gặp
trong chương trình phổ thông. Nhờ các đặc trưng hàm này mà ta có thể dự đoán kết quả
của các phương trình hàm tương ứng cũng như có thể đề xuất những dạng bài tập tương
ứng với các đặc trưng hàm đó.
Các hàm số được xét trong phần này thoả mãn điều kiện liên tục trên toàn miền
xác định của hàm số. Nếu hàm số thoả mãn các đặc trưng hàm đã cho mà không có tính
liên tục hoặc được xác định trên các tập rời rạc thì nghiệm của phương trình hàm có thể
là một biểu thức hoàn toàn khác.
1/ Hàm bậc nhất:
.
Đặc trưng hàm:
(Phương trình Jensen)
2/ Hàm tuyến tính:
.
Đặc trưng hàm:
(Phương trình Cauchy)
3/ Hàm mũ:
.
Đặc trưng hàm:
(Phương trình Cauchy)
4/ Hàm logarit:
.
Đặc trưng hàm:
(Phương trình Cauchy)
5/ Hàm sin:
.
Đặc trưng hàm:

6/ Hàm cosin:
.
Đặc trưng hàm:

7/ Hàm tang:
.
Đặc trưng hàm:

8/ Hàm cotang:
.
Đặc trưng hàm:

9/ Hàm luỹ thừa:
.
Đặc trưng hàm:

Một số dạng bài tập và phương pháp giải.
Dạng 1: Tìm f(x) , biết
= v(x)
Đặt t = u(x) , tính x theo t : x =
(t)
Thế vào biểu thức đã cho ta được f(t) =

Khi đó thay t bởi x ta được : f(x)
Ví dụ 1: Tìm hàm số f(x) biết :
1, f(2x + 1) = 7x + 5
2,

Hướng dẫn giải
1, Đặt t = 2x + 1


Hệ thức đã cho trở thành : f(t) =

Vậy f(x) =

2, Đặt t =

Do đó f(t) =

Vậy f(x) =

Bài tập tương tự:
1, Tìm hàm f(x) biết :
a)

( HD: Nhân lượng liên hợp
. ĐS:
)
b)

Hướng dẫn giải
Đặt




Dạng 2: Tìm f(x) biết

Từ hệ thức đã cho suy ra hệ thức mới chỉ chứa
và

Ta được hệ pt chứa 2 ẩn
và

Giải hệ này ta đưa bài toán về dạng 1.
Ví dụ 1: * a.f(x) + b.f(–x) = C
Thay x bởi – x ta được a.f(–x) + b.f(x) = C
* a.f(x) + bf
= C
Thay x bởi
ta được a.f
ta được a.f
+ b.f(x) = C
Ví dụ 2: Tìm hs f(x) biết :
1) 2.f(x) – f(–x) =

2) (x – 1) f(x) +
=


Hướng dẫn giải
1) Ta có : 2.f(x) – f(–x) =
(1)
Thay x bởi – x thì đẳng thức trở thành

(2)
Nhân 2 vào hai vế của (1) xong cộng với (2) theo từng vế ta được


2) Ta có : (x – 1).f(x) +
(3)
Thay x bởi
thì đẳng thức này thành:

Hay
(4)
Nhân
vào hai vế của (3) ta được:
(5)
Lấy (4