XÁC ĐỊNH TÂM VÀ TÍNH BÁN KÍNH CỦA MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH ĐA DIỆN

I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Mặt cầu (S) ngoại tiếp hình đa diện (H) khi các đỉnh của (H) nằm trên mặt cầu
-Môt hình chóp nội tiếp trong mặt cầu (S) khi và chỉ khi đáy của hình chóp là một đa giác nội tiếp được.
-Môt hình lăng trụ đứng nội tiếp trong mặt cầu (S) khi và chỉ khi đáy của hình lăng trụ đó là các đa giác nội tiếp được.
-Hình tứ diện ,lăng trụ đều , hình chóp đều và các khối đa diện đều đều nội tiếp được :
Chú ý :
–Trong không gian tập hợp của những điểm cách đều các đỉnh của một đa giác là một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác tại tâm của đa giác đó.( Trục của đa giác đáy)
–Trong không gian tập hợp những điểm cách đều 2 điểm A và B là mặt phẳng trung trực của AB.
Dạng 1: HÌNH ĐA DIỆN CÓ CÁC MẶT LÀ NHỮNG TAM GIÁC VUÔNG CÓ CHUNG CẠNH HUYỀN:
Phương pháp:
Gọi I là trung điểm của cạnh huyền chung.
Tâm của mặt cầu là I và bán kính là nửa cạnh huyền đó.
Ví dụ :
Cho hình chop S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và SA vuông góc với đáy .Gọi H và K là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC.Chứng minh hình đa diện AHKBC nội tiếp được trong mặt cầu (S) , tìm tâm và bán kính của (S) theo a ,Với SA=AB= a









Bài tập:
Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , Hai mặt bên SAB và SAD vuông góc với đáy , hai mặt bên còn lại tạo với đáy góc 600.
Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chop S.ABCD.
Gọi B’ ; C’ là hình chiếu của A lên SB và SDClà ;D’ là giao điểm của DS và mp(AB’C’). Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ABCDB’C’D’.
Cho 2 đường thẳng chéo nhau (d) và (d’) có đoạn vuông góc chung là AA’ (A thuộc (d) và A’ thuộc (d’). Gọi (P) là mp qua AA’ và vuông gó với (d’) .Cho biết AA’=a .Một đường thẳng (l) song song với (P) cắt (d) và (d’) tại M và M’ .Hình chiếu vuông góc của M lên (P) là là N.Xác định tâm I của mặt cầu đi qua 5 điểm A ;A’ ; M ; M’ ; N. biết b=A’M’ và ( =(d;d’)
ĐS:



Dạng 2: Hình chóp S.A1A2…An
Gọi O là tâm của đa giác đáy , và I là tâm của mặt cầu (S) .
Dựng (d) ((A1A2…An), (d) qua O
=>IA1=IA2=….=IAn => I thuộc (d).
IA1 =IS => I thuộc mặt phẳng trung trực của SA1.Vậy I là giao điểm của mp trung trực của SA1 và (d).





Giải





Ví dụ 2:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh b và SA =a vuông góc với đáy .Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên.


Ví dụ 3:
Cho hình chóp O.ABC biết (AOB=900 ;(BOC=600 (COA=1200 và OA =OB =OC =a.
a.Chứng minh tam giác ABC vuông.
b.Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp O.ABC
GIẢI




3: Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng
Phương pháp:
–Gọi O và O’ là 2 tâm của 2 đáy.
-Nối OO’ =>OO’ ( hai đáy.
–Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lặng trụ đứng
=>

(1)=>I(OO’ (2)=>I((d) (với (d) là đường trung trục của AA1’ trong mp (AA’1 ;OO’)
=> I là giao điểm của (d) và OO’=>I là trung điểm của OO’,
Ví : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AC = b , (C=600 .Đường chéo BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mp (AA’C’C) góc 300.
a.Tính thể tích của khối lăng trụ . b. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lăng trụ.
GIẢI: