ĐẠI SỐ TỔ HỢP
QUY TẮC CƠ BẢN CỦA PHÉP ĐẾM
I. Trong đại số tổ hợp , ta thường dùng hai quy tắc cơ bản của phép đếm, đó là quy tắc cộng và quy tắc nhân.
1) Quy tắc cộng
Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai phương án. Nếu phương án một có m cách thực hiện , phương án hai có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của phương án thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện.
Ví dụ : Từ thành phố A đến thành phố B có 3 đường bộ và 2 đường thuỷ. Cần chọn một đường để đi từ A đến B. Hỏi có mấy cách chọn ?
Giải
Về đường bộ : có 3 các để chọn
Về đường thủy : có 2 cách để chọn
Vậy có : 3 + 2 = 5 cch chọn.
Chú ý : Có thể mở rộng quy tắc cộng như sau :
Một công việc được hoàn thành bởi một trong k phương án A1 , A2 , …, Ak . phương án A1 có n1 cách thực hiện, phương án A2 có n2 cách thực hiện , …, phương án Ak có nk cách thực hiện .Tất cả các phương án này không trùng nhau .Khi đó số cách hoàn thành công việc l :
cách .
Ví dụ . Một nhà hàng có 3 loại rượu, 4 loại bia và 6 loại nước ngọt. Thực khách cần chọn đúng 1 loại thức uống. Hỏi có mấy cách chọn ?
Giải
Rượu : có 3 cách chọn
Bia : có 4 cách chọn
Nước ngọt : có 6 cách chọn
Vậy thực khách sẽ có : 3 + 4 + 6 = 13 cách chọn.
Bài tập tương tự
Bài 1: Một trường THPT được cử một học sinh đi dự trại hè toàn quốc.nhà trường quyết định chọn một học sinh tiên tiến của lớp 11A hoặc lớp 12B .Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn.Nếu biết lớp 11A có 31 học sinh tin tiến , lớp 12B có 22 học sinh tiên tiến.
Bài 2: Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nước con người Việt Nam ban tổ chức công bố các đề tài bao gồm : 8 đề tài về lịch sử , 7 đề tài về thiên nhiên , 10 đè tài về con người và 6 đề tài về văn hóa .Mỗi thí sinh chỉ được chọn duy nhất 1 đề tài . Hỏi mỗi thí sinh sẽ có bao nhiêu cách chọn.
Bài 3. Giả sử bạn muốn mua một áo sơ mi cở 39 hoặc 40 cở 39 có 5 mẫu khác nhau , cở 40 có 4 mẫu khác nhau . Vậy bạn sẽ có bao nhiêu cách lựa chọn ( về mẫu và cở áo )?
2) Quy tắc nhân :
Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp .Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc đó .
Ví dụ . Từ Cần Thơ đến TP HCM có 3 cách để đi .Từ TP HCM đến Tokio có 2 cách để đi.Một người cần đi từ Cần Thơ đến Tokio .Hỏi người đó có bao nhiêu cách để để đi.
Giải
Đây là một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp .Từ Cần Thơ đến TP HCM rồi từ TP HCM đến Tokio.Nên theo quy tắc nhân người đó sẽ có :
3.2 = 6 cách để đi.
Chú ý : Có thể mở rộng quy tắc nhân như sau :
Một công việc được hoàn thành bởi một trong k hành động A1 , A2 , …, Ak liên tiếp nhau. Hành động A1 có n1 cách thực hiện, hành động A2 có n2 cách thực hiện , …, hành động Ak có nk cch thực hiện . Khi đó số số cách hoàn thành công việc là : n1 n2 …nk cách .
Ví dụ : Một hội đồng nhân dân có 15 người, cần bầu ra 1 chủ tịch, 1 phó chủ tịch, 1 thư ký và không được bầu 1 người vào 2 hay 3 chức vụ. Hỏi có mấy cách ?
Giải
Có 15 cách chọn chủ tịch.
Với mỗi cách chọn chủ tịch, có 14 cách chọn phó chủ tịch.
Với mỗi cách chọn chủ tịch và phó chủ tịch, có 13 cách chọn thư ký.
Vậy có : 15. 14 .13 = 2730 cch chọn
Bài tập tương tự
Bài 1.Một lớp học có 45 HS .GVCN cần chọn ra 1 lớp trưởng , 1 lớp phó học tập , 1 bí thư ( không cho kim nhiệm) .Hỏi GVCN sẽ có bao nhiêu cách chọn.
Bài 2.Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn?
Bài tập tổng hợp
Bài 1 .Từ các chữ số 1,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
Có 4 chữ số ( không nhất thiết khác nhau)