ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TÍNH TỔNG
I- MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT:
1- Khai triển nhị thức Newton:
Với mọi x và với mọi n(N* ta có:
(1 + x)n =

2- Các tính chất của số phức thường dùng
* Hai số phức z = x + iy, w = x/ + iy/ bằng nhau khi và chỉ khi x = x/ và y = y/
* z = r(cos( + isin() ( zn = [r(cos( + isin()]n = rn(cosn( + isinn()
* Giải phương trình: x3 – 1 = 0
Ta được các nghiệm là x1 = 1;
;
.
Các nghiệm đó chính là các căn bậc ba của 1.
Đăt:

và
có các tính chất sau:
1)
+
= -1
2)

3)

4)

5)

(k – nguyên).
3- Khi nào thì dùng số phức để tính tổng của các
?
Đây là vấn đề lớn nhất cần chú ý cho học sinh. Ta dùng số phức để tính tổng của các
khi tổng này có hai đặc điểm:
* Các dấu trong tổng xen kẽ đều nhau .
* k luôn lẻ, hoặc luôn chẵn hoặc khi chia k cho một số ta luôn được cùng một số dư (trong chương trình phổ thông ta chỉ cho HS làm với k = 3m, k = 3m + 1, k = 3m + 2).
4- Các tổng của
được tính như thế nào ?
* Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường ta chọn là x = i). So sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính.
* Khai triển trực tiếp các số phức (thường chỉ xét các số phức có argument là
,
,
). Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính.
* Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường ta chọn là x = i). Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính.
* Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là các căn bậc ba của đơn vị. Cộng vế theo vế các đẳng thức thu được. Suy ra giá trị của tổng cần tìm.
Điều quan trọng là phải quan sát tổng cần tìm có những đặc điểm gì để lựa chọn một trong các cách trên. Chủ yếu là căn cứ vào hệ số của các
trong tổng. Để nói chi tiết được điều này đòi hỏi phải có lượng lớn những nhận xét, sẽ vượt quá khuôn khổ cho phép của một đề tài sáng kiến kinh nghiệm. Tôi chỉ đưa ra một số ví dụ minh hoạ cho
từng dạng, qua đó người đọc sẽ tự trả lời được câu hỏi: Để tính tổng này ta phải làm gì?
II- MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ:
Dạng 1:Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp hoặc khai triển trực tiếp các số phức
Ví dụ 1:
Tính tổng A =

B =

Giải:
Xét khai triển:
(1 + x)2009 =

Cho x = - i ta có:
(1 – i )2009 =

= (
) +
+ (
)i
Mặt khác:


=

So sánh phần thực và phần ảo của (1 – i )2009 trong hai cách tính trên ta được:
A =
= 21004
B =
= - 21004
Ví dụ 2:
Tính tổng: C =

Giải:
Xét khai triển:




+

Mặt khác:

So sánh phần thực của
trong hai cách tính trên ta được:
C =

Ví dụ 3:
Tính tổng: D =

Giải:
Xét khai triển:

=
= (
) +
+

Mặt khác:



So sánh phần thực của
trong hai cách tính trên ta có:
D =
= - 219
Dạng 2: Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp
Ví dụ 1:
Tính tổng: D =

E =

Giải:
(1 + x)30 =

Đạo hàm hai vế ta có:
30(1 + x)29 =

Cho x = i ta có:
30(1 + i)29 = (
) +
+