ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
1/ Diệntíchhìnhphẳng:
* Diệntíchhìnhthangconggiớihạnbởicácđường: y = f(x); y = 0; x = a; x = b:
S =

* Diệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởicácđường: y = f(x); y = g(x); x = a; x = b:
S =

2/ Thểtíchvậtthểtrònxoay:
* Chohìnhthangconggiớihạnbởicácđường: y = f(x); y = 0; x = a; x = b quay xungquanhtrụchoành ta đượcmộtkhốitrònxoay. Thểtích KTX đóđượctínhtheocôngthức :
V =

* (Thamkhảo) Cho hìnhthangconggiớihạnbởicácđường: x = g(y); x = 0; y = c; y = d quay xungquanhtrụctung tađượcmộtkhốitrònxoay. Thểtích KTX đóđượctínhtheocôngthức :
V =


CÁC VÍ DỤ

Vídụ1: Tínhdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởiđồthịcáchàmsố y = x2 – 1; y = 0; x = 0; x = 2.
Giải:
Gọi S làdiệntíchcầntính, ápdụngcôngthức S =
thì S =

Phươngtrình: x2 -1= 0
x =
1 , nghiệm x = 1
[0;2]
Vậy S =
+
=
+
= 2 (đvdt)
Vídụ2: Tínhdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởiđồthịcáchàmsố y = 2 – x2và y = x.
Giải:
(Cậna,blànghiệmcủaphươngtrình: 2 – x2 = x
x2 + x – 2 = 0
x = 1 và x = -2
Gọi S làdiệntíchcầntính, ápdụngcôngthức S =
thì S =

Vậy S =
=
=
=
(đvdt)
* Lưu ý: Chỉcóthểđưadấutrịtuyệtđốirangoàitíchphânnếuhàmsốdướidấutíchphânkhôngđổidấutrên [a; b].

Vídụ 3:
a) Cho hìnhphẳnggiớihạnbởicácđường y = 2x – x2và y = 0. Tínhthểtíchvậtthểtrònxoayđượcsinhrabởihìnhphẳngđókhinó quay quanhtrụcOx.,

Giải:
(Phươngtrình 2x – x2 = 0
x = 0 và x = 2
(Gọi V làthểtíchcầntính.Ápdụngcôngthức: V =

Ta có V =
=
=
(đvtt)
b) Cho hìnhphẳnggiớihạnbởicácđường y = – x2và y = x3. Tínhthểtíchvậtthểtrònxoayđượcsinhrabởihìnhphẳngđókhinó quay quanhtrục Ox.
Giải:
(Phươngtrình – x2 = x3
x = 0 và x = –1
(GọiV1làthểtíchvậtthểtrònxoayđượcsinhra do hìnhphẳnggiớihạnbởicácđường y = – x2, x = 0, x = –1 vàtrục Ox khihìnhphẳngđó quay quanh Ox:
Có V1 =
=


(Gọi V2làthểtíchvậtthểtrònxoayđượcsinhra do hìnhphẳnggiớihạnbởicácđường y = x3, x = 0, x = -1 vàtrục Ox…:
Có V2 =
=

Vậythểtích V cầntínhlà: V =
=
(đvtt)
BÀI TẬP
Tínhdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởi (P): y = – x2 + 4x vàtrụchoành.
KQ: S =
đvdt
Tínhdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởihaiđường (P): y = – x2và y = – x – 2 .
KQ: S =
đvdt
Tínhdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởiđồthịhàmsố y = 5x4 – 3x2 – 8, trục Ox trên [1; 3]
KQs: S = 200 đvdt
Tínhthểtíchcáchìnhtrònxoaysinhbởicáchìnhphẳnggiớihạnbởicácđườngsauđâykhi quay quanhtrục Ox:
a) (P): y 2 = 8x và x = 2 KQ: 16
đvtt
b) y = x2và y = 3x KQ:
đvtt
c) y =
; y = 0; x = 0; x =
KQ:
đvtt
Tínhdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởi y=-x2+3x+4, trụchoànhvàhaiđườngthẳng x=0, x=2.

Tínhdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởi y=x2-4x+3, trụchoànhvàhaiđườngthẳng x=0, x=2.


Tínhdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởi y=cos x, trụchoànhvàhaiđườngthẳng x=0, x=2(.


Tínhdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởi
, trụchoànhvàhaiđườngthẳng x=-2, x=1


Tínhdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởi


Tínhdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởi:

;trụchoànhvàhaiđườngthẳng x=-1, x=2


Tínhdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởi:



Tínhdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởihaiđườngthẳng : x = 0, x = (vàđồthịcủa 2 hàmsố : y = sinx , y = cosx .

Tínhdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởihaiđườngcong :
và



Tínhdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởiđườngcong
trụchoànhvàhaiđườngthẳng x=1, x=3


Tínhdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởiđườngcong
, trụchoànhvàhaiđườngthẳng x=1, x=3

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
trục hoành ;x =1;x = e

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong
, trục hoành


Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong
và đường thẳng


Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (P)
,tiếp tuyến của (P) tại M(3;5) và trục tung

Tínhdiệntíchhìnhphẳngđượcgiớihạnbởicácđườngthẳng
vàđườngcong
S =

Tínhdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởiđồthịhàmsố y =
, trụchoànhvàhaiđườngthẳng x = ln3, x = ln8
Tínhdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởicácđườngsau :
.
Tínhdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởicácđường: y=x.sin2x, y=2x, x=
.
Tính diện tích hình (H) giới hạn bởi các đường
và y = 1.
Tínhdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởicácđườngsau :
.
Tínhdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởi:

Tínhthểtíchkhốitrònxoaytạothành khi quayhìnhphẳnggiớihạnbởicácđường :
y =
 ; y = 0 ; x =
 ; x =
xungquanhtrụchoành.
Tínhthểtíchkhốitrònxoaytạothành khi quayhìnhphẳnggiớihạnbởicácđường :
y = x -
 ; y = 0 ; x = 0 vàđườngthẳng x = ln2 xungquanhtrụchoành
Tínhthểtíchkhốitrònxoaytạothành khi quayhìnhphẳnggiớihạnbởicácđường :
y =
 ; y = e ; x =