VECTƠ
Khái niệm vectơ



Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là
.
Chú ý: + Ta còn sử dụng kí hiệu
để biểu diễn vectơ.

Vectơ cùng phương , vectơ cùng hướng
Giá của vectơ
Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ .

Ví dụ :



Đường thẳng d là giá của vectơ

Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu
.

Hai vectơ cùng phương

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau .

Hai vectơ cùng hướng
Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng

Ví dụ :
là các vectơ cùng hướng

là các vectơ ngược hướng

A B C D
E F G H

Hai vectơ bằng nhau



Vectơ không
Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là vectơ không .
+ Qui ước: Vectơ
cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.
Mọi vectơ
đều bằng nhau.

TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
Tổng của hai vectơ
Cho hai
. Lấy một điểm A tuỳ ý vẽ
. Vectơ
được gọi làtổng của hai vectơ

KH:



Phép toán trên được gọi là phép cộng vectơ



B


C

A


Nhận xét , theo định nghĩa ta có :
( quy tắc 3 điểm)
Hiệu của hai vectơ
Vectơ đối:
Định nghĩa: Cho
, vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với
được gọi là vectơ đối của
.
KH:

Đặc biệt: vectơ đối của vectơ
là

Kết luận:

2. Định nghĩa hiệu hai vectơ :
Cho
và
. Hiệu hai vectơ
,
la ømột vectơ

KH:

Vậy

Phép toán trên gọi là phép trừ vectơ.
Nhận xét , theo định nghĩa ta có :
( quy tắc 3 điểm đối với phép trừ)
Một số quy tắc.
Quy tắc hình bình hành
B C

A D
Nếu ABCD là hình bình hành thì :

Quy 3 điểm đối với phép cộng
Cho 3 điểm A , B , C tùy ý , khi đó ta có :

Quy 3 điểm đối với phép trừ
Cho 3 điểm A , B , C tùy ý , khi đó ta có :

Quy trung điểm
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB , khi đó ta có :

Quy trọng tâm
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , khi đó ta có :


TÍCH VECTƠ VỚI MỘT SỐ

TÓM TắT LÝ THUYếT:

( Cho k(R , k
là 1 vectơ được xác định:
* Nếu k ( 0 thì k
cùng hướng với

* k < 0 thì k
ngược hướng với

* Độ dài vectơ k
bằng (k (.(
(
( Tính chất :
a) k(m
) = (km)

b) (k + m)
= k
+ m

c) k(
+
) = k
+ k

d) k
=
(
k = 0 hoặc
=

(
cùng phương
(
(
) khi và chỉ khi có số k thỏa
=k

( Điều kiện cần và đủ để A , B , C thẳng hàng là có số k sao cho
=k

( Cho
không cùngphương
, (
luôn được biểu diễn
= m
+ n
( m, n duy nhất )

Dạng toán chứng minh một đẳng thức vectơ : A = B

Phương pháp :
Ta thường sử dụng các kiến thức :
* Cho 3 điểm A , B , C tùy ý , khi đó ta có :

* Cho 3 điểm A , B , C tùy ý , khi đó ta có :

* Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB , khi đó ta có :

* Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , khi đó ta có :

Cách 1 : Biến đổi VT thành VP hoặc ngược lại .
Ở trường hợp này ta thường lựa chọn việc biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản.
Cách 2 :Biến đổi đẳng thức về một điều luôn đúng .
Cách 3 :Biến đổi đồng thời VT và VP về một biểu thức trung gian .
Cách 4 :Xuất phát từ một đẳng thức đúng ,biến đổi thành đẳng thức cần
Bài tập